1+1=10, 10+1=11, 11+1=1=100. GOT IT?

1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + ... + 11...11111

Determine a soma seguinte em função de n:

S = 1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + ... + 11...11111, onde a última parcela é um número formado por n algarismos iguais a 1.

Solução:

Observe que poderemos reescrever a igualdade como segue:

S = 1 + (10+1) + (100+10+1) + (1000+100+10+1) + ... + c_n
onde c_n é a última parcela 11...11111, um número formado por n algarismos iguais à unidade.

Observando atentamente o segundo membro da igualdade acima, veremos que:
Primeiro termo = 1 = 10⁰
Segundo termo = 10 + 1 = 10¹ + 1
Terceiro termo = 100 + 10 + 1 = 10² + 10¹ + 1
Quarto termo = 1000 + 100 + 10 + 1 = 10³ + 10² + 10 + 1
e assim sucessivamente.

É razoável supor, baseado nas igualdades anteriores, que o termo de ordem n
(n-ésimo termo) c_n será dado por:
c_n = 10^n-1 + 10^n-2 + 10^n-3 + ... + 10 + 1

A soma S poderá ser reescrita como:

S = 1 + (10+1) + (100+10+1) + (1000+100+10+1) + ... + 10^n-1 + 10^n-2 + 10^n-3 + ... + 10 + 1
contendo n termos, ou seja, a soma dada no enunciado possui sempre n parcelas.

Ou na forma equivalente:
S = 1 + (10+1) + (10²+10+1) + (10³+10²+10+1) + ... + 10^n-1 + 10^n-2 + 10^n-3 + ... + 10 + 1

Vamos escrever as parcelas acima na forma abaixo, de modo a ajudar na análise:
1
10  + 1
10² + 10 + 1
10³ + 10²  + 10 + 1
10⁴ + 10³ + 10² + 10 + 1
10⁵ + 10⁴ + 10³ + 10² + 10  + 1
10⁶ + 10⁵ + 10⁴ + 10³ + 10² + 10 + 1
.................................................................
......................................................................
10^n-1 + 10^n-2 + 10^n-3 + ... + 10 + 1

Verifique que na soma acima:

O número 1 aparece em todos os termos e, portanto, aparece n vezes.
O número 10 aparece em (n –1) termos e, portanto aparece (n – 1) vezes.
O número 100 = 10²  aparece (n – 2) vezes
O número 1000 = 10³ aparece (n – 3) vezes e assim sucessivamente.

Portanto poderemos escrever:

S = 1.n + 10(n-1) + 10²(n-2) + 10³(n-3) + ... + 10^n-1(n-(n-1))
S = 1.n + 10(n-1) + 10²(n-2) + 10³(n-3) + ... + 10^n-1
S = n + 10(n - 1) + 10²(n - 2) + 10³(n - 3) + ... + 10^n-1
Como S é uma soma de valor positivo, o máximo valor que n poderá assumir na igualdade acima será igual ao número de parcelas consideradas. Esta fórmula é a solução do problema proposto, pois expressa a soma em função de n.

Vejamos alguns exemplos:

n = 1 Þ S₁ = 1
n = 2 Þ S₂ = 2 + 10(2-1) = 12 = 1 + 11
n = 3 Þ S₃ = 3 + 10(3-1) + 10²(3-2) = 3 + 20 + 100 = 123 = 1 + 11 + 111
n = 4 Þ S₄ = 4 + 10(4-1) + 10²(4-2) + 10³(4-3) = 1234 = 1 + 11 + 111 + 1111
n = 5 Þ S₅ = 5 + 10(5-1) + 10²(5-2) + 10³(5-3) + 10⁴(5-4) = 12345 = 1+11+111+1111+11111
e assim sucessivamente.

Vamos formar uma tabela resumo contendo os 10 primeiros resultados da soma proposta no problema:

n	Soma	Resultado
1	1	1
2	1 + 11	12
3	1 + 11 + 111	123
4	1 + 11 + 111 + 1111	1234
5	1 + 11 + 111 + 11111	12345
6	1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + 111111	123456
7	1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + 111111 + 1111111	1234567
8	1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + 111111 + 1111111 + 11111111	12345678
9	1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + 111111 + 1111111 + 11111111 + 111111111	123456789
10	1 + 11 + 111 + 1111 + 11111 + 111111 + 1111111 + 11111111 + 111111111 + 1111111111	1234567900

De uma forma geral, conforme já vimos, a soma de n parcelas será dada em função de n pela expressão:

S = n + 10(n - 1) + 10²(n - 2) + 10³(n - 3) + ... + 10^n-1

Exemplo:

para n = 11, a fórmula acima dará:

S₁₁ = 11 + 10(11 – 1) + 10²(11 – 2) + 10³(11 – 3) + 10⁴(11 – 4) + 10⁵(11 – 5) +
+ 10⁶(11 – 6) + 10⁷(11 – 7) + 10⁸(11 – 8) + 10⁹(11 – 9) + 10¹⁰(11 – 10)   =
= 12345679011
Realmente, o valor da soma
1+11+111+1111+11111+111111+1111111+11111111+111111111+1111111111++11111111111 = 12345679011, obtido efetuando-se a conta pelo método usual, senão vejamos:

	1
	11
	111
	1111
	11111
	111111
+	1111111
	11111111
	111111111
	1111111111
	11111111111
	12345679011

Read More

Lista II Matlab Engenharia

Daniel Ribeiro Nodari                    

Lista 2            algoritmos e linguagem de programação.

1.  

clear all

clc

% Faça um algoritmo que leia duas matrizes de tamanho 4 x 4.

%Em seguida, mostre quantos são positivos e quantos são negativos.

X=[67 -12 87 25; 26 -94 52 09; 21 48 -81 26; 59 72 28 -72];

Y=[-16 39 32 76; 94 -62 00 08; 32 -86 74 56; -09 60 -37 2];

%contador positivos = C

C=0;

%contador negativos = D

D=0;

% after entering v,run below code

 for i = 1:length(X)

     if X(i) > 0

         C=C+1

     elseif X(i) <0

           D=D+1;

     end

 end

 for i = 1:length(Y)

     if Y(i) > 0

         C=C+1

     elseif Y(i) <0

           D=D+1;

     end

 end

 fprintf('os positivos são %d',C);

 fprintf('os negativos são %d',D);

no command window:

2.     

clear all

clc

%exercicio 2

%Faça um algoritmo que leia 10 valores informados pelo usuário.

%Ao final deve retornar o maior e o menor valor.

for A=1:10

    d(1,A)= input('digite 1 numero : '); 

end

X=min(d);

Y=max(d);

fprintf('o menor é:   %d, e o maior é:  %d',X,Y);

no command window:

3.     

clear all

clc 

%exercicio 3  

% Faça um algoritmo que leia duas matrizes A e B de tamanho 4 x 4, 

% conte e mostre quais valores que estão na matriz A,  

% também aparecem na matriz B, independente de sua posição. 

  

A=[67 12 87 25; 26 94 32 09; 21 48 81 26; 59 76 28 47]; 

B=[67 21 32 76; 72 47 26 08; 25 86 12 56; 09 60 33 02]; 

  

 X = intersect(A, B); 

Y = (X)'; 

Z=length(X); 

  

fprintf('das duas matrizes há %d números comuns. Nos quais são: ',Z); 

disp(Y); 

no command window:

Read More

Problema resolvido:  "exit is not declared in scope"

o problema é ocorrido por falta de uma biblioteca chamada "cstdlib"
na execução deve ser informado:

algoritmo de exemplo: 

#include <stdio.h>
#include <iostream>
#include <cstdlib>
using namespace std;
int a;
int b=0;
int main()
{
    while (b<4)
    {
        printf("informe valores para: \n 1-4 = sair: ");
        scanf("%d",&a);
        if (a==1)
        {
            exit(0);
         
        }
        if (a==3)
        {
            exit(0);
         
        }
        if (a==3)
        {
            exit(0);
         
        }

    }

}

Read More

algoritmo pra ler 15 valores MATLAB

1- criando algoritmo pra ler 15 valores e mostrar o números de pessoas por faixa etária.

linguagem :: MATLAB

clear all % limpando a workspace

clc % limpando a command window

junior=0;             % }\

crianca=0;           % } \

adolescente=0;    % }   \

jovem=0;            % }     |> declarando todas as variáveis

adulto=0;            % }    /

idoso=0;             % }  /

nao=0;                % }/

for x=1:1:15 % pede para que o usuário digite 15 valores q no caso e as respectivas idades;

     z(1,x)= input('digite uma idade: ');

           if z(1,x)>=1

                if z (1,x)<=130

                     if z(1,x)<=3 && z(1,x)>0

                          junior=junior+1;

                     end

                     if z(1,x)<=11 && z(1,x)>3

                          crianca=crianca+1;

                    end

                    if z(1,x)<=17 && z(1,x)>11

                         adolescente=adolescente+1;

                    end

                    if z(1,x)<=25 && z(1,x)>17

                         jovem=jovem+1;

                    end

                    if z(1,x)<=60 && z(1,x)>25

                         adulto=adulto+1;

                    end

                    if z(1,x)>60 && z(1,x)<130

                         idoso=idoso+1;

                    end

               else

                    clc

                    z(1,x)=input('} atenção!{ \n 0 < idade < 130; \n idade invalida! \n digite novamente *-* >> ');

               end;

        else

                clc

                z(1,x)=input(' } atenção!{ \n 0 < idade < 130; \n idade invalida! \n digite novamente *-* >> ');

        end

end

disp('quantidade de pessoas por faixa etaria: ')

fprintf('a quantidade de juniors é: %d \n',junior)

fprintf('a quantidade de criancas é: %d \n',crianca)

fprintf('a quantidade de adolescentes é: %d \n',adolescente)

fprintf('a quantidade de jovens é: %d \n',jovem)

duvidas :: comentarios

by: Daniel Nodari↴

Read More